Аннотация. Статья посвящена исследованию древнейших числовых систем, на основе которых создана современная мировая система счёта. Впервые рассмотрена эволюция цифровых обозначений, приведшая к появлению цифр в том виде, в котором ими пользуется современное человечество.
Ключевые слова: иератические числа, демотические цифры и числа, египетские цифры и числа, цифры Фибоначчи.
Уже почти тысячелетие в мире существует устойчивое мнение, что современные цифры, которыми мы пользуемся и называем арабскими, являются по сути не арабскими, а заимствованными из Индии. Те, кто утверждают это, ссылаются на знаменитого итальянского математика Фибоначчи. При этом убедительных доказательств индийского происхождения цифр не приводилось. Авторитет Фибоначчи и временной фактор упрочили эту точку зрения.
Но мы всё-таки осмелимся оспорить это давнее заблуждение. По мнению автора статьи, следует не просто спорить, но прежде всего доказывать свою правоту, опираясь не на фантазии, не на экстравагантные гипотезы, не на авторитетных учёных, а исключительно на достоверные материалы, собранные в систему и обладающие достаточной наглядностью, чтобы убедить любого неангажированного читателя.
Предварительно, несколько слов об Интернете. Фантастические информационные возможности Интернета сами по себе не являются генератором научных разработок. Интернет может лишь дать необходимую информацию, которая зачастую тонет в океане мусора, кроме того предоставление той или иной информации обставляется такими сложностями и денежными условиями, что пользоваться ею не представляется возможным. Поэтому такие электронные издания, как журнал «Наука в мегаполисе», где информация проверяется на её достоверность и оригинальность, и затем доступ к ней легко получить любому заинтересованному читателю, крайне нужны в современном образовательном процессе.
По мнению автора статьи для лучшего усвоения читателями материала по той или иной научной теме важно использовать диалектический подход, т.е. показывать в развитии процесс решения той или иной научной проблемы. Этого подхода мы будем придерживаться и в этой статье, начав с самых первых шагов в области счисления, которые были сделаны древними египетскими математиками.
Рис. 1. Таблица эволюции записи цифр и чисел
В таблице на рисунке 1 в первых двух столбцах представлены современные арабские числа и соответствующие им египетские числа в иероглифической записи. Иероглифическая запись чисел скопирована автором с подлинных артефактов, сохранившихся до наших дней в древнеегипетских городах: Луксоре и Ком-Омбо. Особое внимание автором статьи при изучении чисел в иероглифической записи было обращено на то, что они могли быть записаны разными вариантами. Все эти варианты были равноправны и применялись так или иначе с учётом достижения наилучшей компактности записи. Также важно отметить, что в таблице на рисунке 1 применена запись всех чисел слева направо. Соответственно, надписи на артефактах, выполненные справа налево, перенесены в таблицу зеркально.
У древней египетской системы счёта было одно очень важное достоинство. Оперируя с числами в пределах до 1000, древний египтянин должен был знать всего 3 символа:
первый – обозначавший единицу, в виде палочки;
второй – обозначавший десяток, в виде подковы;
третий – обозначавший сотню, в виде спирали.
Считая, в буквальном смысле, по пальцам до 10, самые древние математики могли решать возникавшие в ту эпоху бытовые задачи. Затем добавились обозначения для следующих десятичных разрядов: для 1000, для 10 000, для 100 000 и для 1 000 000. Но наряду с простотой и наглядностью этой системы счёта, у неё был огромный недостаток – запись чисел была очень громоздкой.
С развитием египетского общества увеличилось количество математических задач, а ресурс времени для их решения и записи становился всё более лимитированным. Это привело к созданию более упрощённой (скорописной) записи иероглифов, известной, как иератическое письмо. Соответственно, в третьем столбце таблицы (см. рисунок 1) приведены соответствующие иероглифическим иератические варианты записи тех же чисел. Все эти иератические варианты записи чисел были скопированы автором из следующих подлинных артефактов: математического папируса Ринда и Московского математического папируса Голенищева [1], [3]. Сразу бросаются в глаза беглые росчерки при записи чисел (несмотря на то, что у древних писцов почерк был уверенный и даже каллиграфический, расшифровывать их записи довольно сложное занятие). Также бросается в глаза возросшее количество знаков и знаковых комбинаций, которые надо было запоминать, чтобы делать математические записи. Более того, можно заметить, что пострадала и древняя незыблемая логика в записи математических чисел. Она стала более замысловатой. Начинающий математик мог легко запутаться в иератических обозначениях.
Появление демотического письма в Древнем Египте стало своего рода отчаянной попыткой решить эти нараставшие как снежный ком проблемы, касавшиеся в целом системы иератического письма. В области записи чисел, демотическое письмо можно трактовать, как продолжающуюся эволюцию иератического письма. Некоторые символы остались почти без изменений, некоторые приобрели новые очертания. Но в целом, демотическое письмо унаследовало множество недостатков иератического письма. Приведённые в четвёртой колонке таблицы (см. рисунок 1) варианты демотической записи чисел взяты автором с подлинных всемирно известных артефактов, выполненных в виде надписей на каменных стеллах. Речь идёт о Канопском и Мемфисском декретах [4], [7].
Но задача статьи не в том, чтобы просто проследить эволюцию записи чисел в Древнем Египте. Задача статьи гораздо шире – доказательно обосновать генезис современных цифр, которыми пользуется подавляющее большинство населения земного шара. Поэтому перекинем мостик от демотических цифр Древнего Египта в средневековую Европу. И мостик этот географически протянется из Египта через страны Магриба в Испанию и далее в Италию. Запись цифр, которую использовали магрибинцы (по-другому, берберы) презентовал в Европе (в книге «Liber Abaci») выдающийся математик своего времени, уроженец Италии Фибоначчи.
И тут важно отметить одну существенную деталь: Фибоначчи много путешествовал по странам Средиземноморья [6]. Что больше двигало им: научные или коммерческие интересы? В данном случае это неважно. Важно то, что Фибоначчи не путешествовал по Индии, и его гипотеза об индийском происхождении арабских чисел выглядит по меньшей мере необоснованной.
Откуда взялась запись чисел, которой пользовались арабские купцы, они и сами не знали. К тому времени древняя культура Египта, как и его письменность и многие научные достижения пребывали в забвении, и вряд ли кто-то мог в то время задуматься об эволюции записи чисел в Древнем Египте. А если бы даже и задумался, вряд ли бы у него оказался на тот момент под рукой весь тот объём артефактов, к которым обращается в данной статье автор.
Собрав в единую таблицу накопленные за последние два века бесценные знания о древнеегипетском счислении, мы получаем наглядную иллюстрацию многотысячелетней эволюции цифр, которые пришли к нам не из Индии, а из Древнего Египта. Для большей наглядности доказательства этого утверждения мы приводим иллюстрации (см. рисунок 2), позволяющие без особого труда понять, как появлялись новые формы записи цифр.
Рис. 2. Преобразование египетских цифр в цифры Фибоначчи
Вид записи цифр Фибоначчи взят автором статьи из его книги «Liber Abaci» [5]. Напрашивается естественный вопрос: почему половина египетских цифр претерпела поворот на 90 градусов? Ответ на него, по мнению автора статьи, кроется в методе написания цифр арабскими торговцами: они записывали их росчерками на песке. При этом для стороннего наблюдателя эти записи могли оказаться повёрнутыми на определённый угол.
Вполне можно ожидать, что сторонники гипотезы индийского происхождения арабских цифр будут выражать своё несогласие. В таком случае, с точки зрения автора статьи, они должны представить свои столь же аргументированные доказательства и рассуждения, подтверждающие их точку зрения. Только при таком открытом научном диспуте можно прийти к единственно верному выводу.
Теперь настало время обсудить разрядный вид записи арабских чисел. Именно позиционная поразрядная система записи чисел, распопуляризированная в книге «Liber Abaci» Фибоначчи предопределила в Европе замену римских чисел на арабские. При этом, для заполнения того или иного пустующего разряда арабские торговцы, а вслед за ними и Фибоначчи, использовали нулевой символ, который якобы впервые придумали в Индии. Но какие документы подтверждают индийский приоритет?
Сразу хочется отметить, что датировка наиболее древних индийских математических записей с использованием нулевого символа крайне неточна: от VII в. н.э. до IX в. н.э. Одно можно утверждать уверенно, что демотические надписи Канопского и Мемфисского декретов были сделаны значительно раньше этого периода, и можно допустить, что в период от II в. до н.э. до VII в. н.э. в демотическом счислении появился символ, обозначающий ноль. А то, что у отдельных египетских математиков уже наметилась поразрядная система записи чисел с использованием основного набора из девяти цифр, мы можем видеть из задачи №48 математического папируса Ринда (см. рисунок 3).
Рис. 3. Задача №48 из математического папируса Ринда (чтение справа налево)
В этой задаче проводится вычисление площадей круга и квадрата, причём диаметр круга d равен 9, и сторона квадрата также равна 9. Площадь круга определяется по формуле 8/9 * d * 8/9 * d, где d – диаметр круга [2]; а площадь квадрата определяется по формуле d * d.
Рис. 4. Прорисованное автором зеркальное изображение математической задачи №48 с расшифровкой числовых обозначений (внизу красным цветом)
На рисунке 4 автором статьи предложена расшифровка иератических чисел из задачи №48. Обратим внимание на дату написания математического папируса Ринда – это XVII в. до н.э.! А мы уже имеем первый опыт египетских математиков в области поразрядной записи чисел. Причём в записи числа 18 мы видим характерный для арабского нуля близкий к точечному знак, который выполняет функцию разделения разрядов. Таким образом, мы можем указать на египетский прообраз нуля. Не исключено, что впоследствии такой знак разделения разрядов и превратился в ноль, после чего от арабских купцов попал в Индию.
Опираясь на все приведённые выше аргументы, мы приходим к выводу, что арабские цифры по праву могут носить название арабских, а гипотеза об их индийском происхождении требует представления серьёзных доказательств.
А если уж и менять название арабских цифр, то не на «индийские», а на «египетские».
Список литературы:
- Костюк В.Я. О папирусе Голенищева и задачах №14 и №4 // «Наука в Мегаполисе. Science in a Megapolis», 2025. №12(80). (дата обращения: 15.02.2026).
- Костюк В.Я. Метод ускоренного вычисления площади круга // «Наука в Мегаполисе. Science in a Megapolis», 2026. №2(84). (дата обращения: 15.02.2026).
- Arnold Buffum Chace. The Rhind Mathematical Papyrus / Arnold Buffum Chace, Ludlow Bull, Henry Parker Manning // Vol. II, Mathematical Association of America, 1929. (дата обращения: 17.02.2026).
- Budge E.A.W. The decrees of Memphis and Canopus // New York, Henry Frowde Oxford University press American branch, 1904, I volume (226 p.), II volume (201 p.), III volume, 249 p.
- Frank J. Swetz. Mathematical Treasure: Liber Abaci of Leonardo of Pisa, 2019. (дата обращения: 18.02.2026).
- Knott D.A. Quinney and PASS Maths. The life and numbers of Fibonacci, 2013. (дата обращения: 17.02.2026).
- Spiegelberg W. Demotic Grammar // Heidelberg Universitätsverlag, 1975. 256 p.
Evolution of Number Recording: Ancient Egypt and Followers
Kostyuk V.Y.,
student of 3 course of the Moscow City University, Moscow
Abstract. The article is devoted (dedicated) to the study of the oldest (earliest) numerical (numeral) systems, on the basis of which the modern world (global) counting (numbering) system was created (is based). For the first time, the evolution of numeral symbols, which led to the appearance (emergence) of numbers in the form used by modern humanity, has been analyzed.
Keywords: hieratic numbers, demotic figures and numbers, Egyptian figures and numbers, Fibonacci figures.
References:
- Kostyuk V.Y. About the Golenishchev Papyrus and Problems №14 and №4 // Science in a Megapolis, 2025. №12(80). (date of the address: 15.02.2026).
- Kostyuk V.Y. The method of accelerated calculation of the area of a circle// Science in a Megapolis, 2026. №2(84). (date of the address: 15.02.2026).
- Arnold Buffum Chace. The Rhind Mathematical Papyrus/Arnold Buffum Chace, Ludlow Bull, Henry Parker Manning // II, Mathematical Association of America, 1929. (date of the address: 17.02.2026).
- Budge E.A.W. The decrees of Memphis and Canopus // New York, Henry Frowde Oxford University press American branch, 1904, I volume (226 p.), II volume (201 p.), III volume, 249 p.
- Frank J. Swetz. Mathematical Treasure: Liber Abaci of Leonardo of Pisa, 2019. (date of the address: 18.02.2026).
- Knott D.A. Quinney and PASS Maths. The life and numbers of Fibonacci, 2013. (date of the address: 17.02.2026).
- Spiegelberg W. Demotic Grammar // Heidelberg Universitätsverlag, 1975. 256 p.